DERIVADAS DE FUNCIONES REALES 4

FRASES DE MOTIVACIÓN PARA APRENDER MATEMÁTICA

1-No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son aún mayores.-Albert Einstein.

2-Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas.-Albert Einstein.

3-La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples.-S. Gudder.

4-Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real.-Marcus du Sautoy.

En este módulo se estudiara el límite de una función y sus aplicaciones, así también las derivadas de las funciones algebraicas, cálculo de máximos y mínimos, aplicación de las derivadas en diferentes problemas.

RELACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

GRÁFICA DE LA RELACIÓN SENO-COSECANTE

GRÁFICA DE LA RELACIÓN COSENO-SECANTE

GRÁFICA DE LA RELACIÓN TANGENTE-COTANGENTE

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN COTANGENTE-GRÁFICA

Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X ni al eje Y.

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cosec (- x) = - cosec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (- π/2 + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     cosec (x) = cosec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN SECANTE-GRÁFICA

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {π/2 + k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X.

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.

    sec (- x) = sec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     sec (x) = sec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = π/2 + k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN TANGENTE-GRÁFICA

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     tg (x) = tg (x + π)

     La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

Video de la construcción de la gráfica:

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN COSENO

Las características fundamentales de la función coseno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.

    cos (x) = cos (- x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π + 2·k·π    y   b = 0 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = 0 + 2·k·π    y   b = π + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     cos (x) = cos (x + 2π)

     La función   f(x) = cos (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

GRÁFICA DE LA CURVA TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE

Es la función inversa a la tangente se denota con ctg y se define ctg(x) = cos(x) / sen(x) ; sen(x) diferente de cero.

Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    No corta el eje Y .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cotg (- x) = - cotg (x)

6) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     cotg (x) = cotg (x + π)

     La función   f(x) = cotg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

Actividad: Realizar la actividad de la página 67 y 75 del texto, en hojas de papel milimetrado.