DERIVADAS DE FUNCIONES REALES 4

FRASES DE MOTIVACIÓN PARA APRENDER MATEMÁTICA

1-No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son aún mayores.-Albert Einstein.

2-Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas.-Albert Einstein.

3-La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples.-S. Gudder.

4-Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real.-Marcus du Sautoy.

En este módulo se estudiara el límite de una función y sus aplicaciones, así también las derivadas de las funciones algebraicas, cálculo de máximos y mínimos, aplicación de las derivadas en diferentes problemas.

RELACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

GRÁFICA DE LA RELACIÓN SENO-COSECANTE

GRÁFICA DE LA RELACIÓN COSENO-SECANTE

GRÁFICA DE LA RELACIÓN TANGENTE-COTANGENTE

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN COTANGENTE-GRÁFICA

Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X ni al eje Y.

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cosec (- x) = - cosec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (- π/2 + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     cosec (x) = cosec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN SECANTE-GRÁFICA

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {π/2 + k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X.

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.

    sec (- x) = sec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     sec (x) = sec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = π/2 + k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN TANGENTE-GRÁFICA

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     tg (x) = tg (x + π)

     La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

Video de la construcción de la gráfica:

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN COSENO

Las características fundamentales de la función coseno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ cos x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.

    cos (x) = cos (- x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π + 2·k·π    y   b = 0 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = 0 + 2·k·π    y   b = π + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     cos (x) = cos (x + 2π)

     La función   f(x) = cos (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

GRÁFICA DE LA CURVA TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE

Es la función inversa a la tangente se denota con ctg y se define ctg(x) = cos(x) / sen(x) ; sen(x) diferente de cero.

Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    No corta el eje Y .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cotg (- x) = - cotg (x)

6) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     cotg (x) = cotg (x + π)

     La función   f(x) = cotg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

N.D. : No Definida

               

Actividad: Realizar la actividad de la página 67 y 75 del texto, en hojas de papel milimetrado.  

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO

A continuación se describe las características de la función seno: f(x) = sen(x)

Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ sen x ≤ 1 .

3) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    sen (- x) = - sen (x)

5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π/2 + 2·k·π    y   b = π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = π/2 + 2·k·π    y   b = 3π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (3π/2 + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

7) Es periódica de periodo   2π .

     sen (x) = sen (x + 2π)

     La función   f(x) = sen (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para   0 < |k| <1   el periodo aumenta.

8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

Actividad: Realizar la actividad de la página 61 del texto.

MEDIDAS EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

Radián.- Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de longitud igual a la del radio.

Medida de ángulos

Para medir ángulos tenemos tres sistemas:

* Sistema Centesimal:- Se considera como la unidad de medida la 400 ava parte de la circunferencia o del círculo, cada parte se llama grado centesimal, cada grado está dividido en 100 partes y se llaman minutos y cada minuto está dividido en 100 partes y se llaman segundos.

* Sistema Radial:- Se considera como unidad de medida un arco de longitud igual a la de su radio subtenido en la circunferencia y se le llama radián, la longitud de la circunferencia es:

:

* Sistema Sexagesimal:- Se considera como una unidad de medida la 360 ava parte de la circunferencia o círculo, cada parte se llama grado sexagesimal, cada grado es dividido en sesenta partes llamados minutos y cada minuto se divide en 60 partes llamados segundos.

CASOS PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Entre las aplicaciones que se puede presentar en el planteamiento y desarrollo de un ejercicio o un problema en un triángulo rectángulo tenemos:

* Conocidos dos lados, encontrar la hipotenusa, los ángulos internos, el perímetro y el área
* Conocido la hipotenusa y un cateto, encontrar el otro cateto, los ángulos internos, el perímetro y el      área.
* Conocida la hipotenusa y un ángulo, encontrar los catetos, el otro ángulo interno, el perímetro y el      área.
* Conocido un cateto y un ángulo, encontrar la hipotenusa, el otro cateto, el otro ángulo, el perímetro    y el área.
* Conocida la razón trigonométrica, encontrar los lados, loa ángulos internos, el perímetro y el área.

Actividad: Aplicar el Teorema de Pitágoras y encontrar los valores desconocidos:

1) a = 20m  ,  b = 18m  , encontrar el otro  cateto (c) y el área.
2) c = 100m , b = 40m  , encontrar el otro cateto (a) y el área.
3) c = 60m   , a = 25m  , encontrar el otro cateto (b) y el área.

Ejercicios resueltos:

1.- Un triángulo cuya base mide 10 cm, su lado 43.17 cm y su altura 42 cm

2.- Un rombo cuyas diagonales miden 5.4 cm y 3cm.

Con los datos conocidos puedo obtener el área.

Para saber la medida de su lado utilizo el Teorema de Pitágoras y así poder obtener el perímetro. Aproximadamente el lado mide 3.088 cm

Formulario para obtener perímetros y áreas.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para resolver un triángulo rectángulo aplicamos el Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras: " La hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos"

                         


Ejercicios resueltos:

1.- De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b =280 m. Resolver el triángulo.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2.- De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B   a = 33/0.5437 = 39.12 m

3.- De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22°    b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22°     c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

4.- De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B     a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B   c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

5.- De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

Actividad: Resolver los ejercicios aplicando el Teorema de Pitágoras y calcular las funciones trigonométricas.

CÁLCULO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejercicios resueltos de funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Actividad: Resolver los ejercicios del texto de Matemática Ing. Espinoza. Pág: 48-49-50

TRIGONOMETRÍA

La palabra trigonometría, etimológicamente significa medida de los triángulos.

DEFINICIÓN: La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo.
La diferencia con la Geometría radica en que, esta casi nunca considera los ángulos para calcular los elementos de un triángulo; en cambio, la trigonometría casi siempre lo hace a base de los ángulos.

Triángulo Rectángulo.- Un triángulo rectángulo tiene los siguientes elementos: dos catetos y la hipotenusa.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto y mide 90 grados.



                                      
Las razones trigonométricas son:

seno (sen) ; coseno (cos) ; tangente (tan) ; cotangente (ctg) ; secante (sec) ; cosecante (csc)

Relaciones de las Funciones Trigonométricas:

MOTIVACIÓN

“Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo” 

                                                                                                                                       (W.S. ANGLIN)